Calculo Diferencial

Ejemplo:

Se producirá una caja, abierta por la parte superior de una pieza rectangular de cartón que mide 30 pulgadas de largo por 20 pulgadas de ancho. La caja puede cerrarse al cortar un cuadrado en cada esquina, al cortar sobre las líneas inferiores y doblar, luego el cartón por las líneas discontinuas como se muestra en la figura. Expresar el volumen de na caja como una función de na variable indicada *x* . Encontrar las dimensiones de la caja que obtiene el volumen máximo. ¿Cuál es el volumen máximo? 

Solución:

El problema planteado consiste en construir una caja de volumen máximo, como se muestra en la figura 2. La función objetivo volumen a maximizar, se construye considerando las condiciones que plantea el problema.

 

Volumen de la caja; Largo por ancho por alto

V(x)=(30-2x)(20-2x)x=(600-60x-40+4x²h=4x³-100x²+600x

 

Calculamos

Los puntos críticos

V’(x)=12x²-200x+600

 

Resolvemos:

V’(x)=0

12x²-200x+60=0

3x²-50x+150=0

A     b        c

Ax²+bx²+c=0

X = (-50 ± (50² - (4)(3)(-1250)/ 2  (3)

X= 50±sqrt(2500-1800)/6

X=50±sqrt(700)/6

×2=50+sqrt(700)/6

X2= -7.47pulg

X2=3.92 pulg

X2= 12.74 pu

Volumen de la caja; Largo por ancho por alto

V(x): Tienen un punto crítico en x1=12.74. Para saber si este corte produce el máximo volumen de la caja, aplicamos los criterios anteriores de la segunda derivada.

V(x)= 24x-200

 

Evaluamos:

V’’(12.74)=24×12.74)-20

V’’(12.74)=105.76 à la función es minina

 

Evaluamos:

X2=3.92 en V’’(x)

V’’(3.92)=24(3.92)-200

V’’(3.99)= -105.42